Binär Dezimal Rechner
Wandle eine Binärzahl schnell und zuverlässig in eine Dezimalzahl um. Gib eine beliebige Folge aus Nullen und Einsen ein und erhalte sofort das Ergebnis inklusive nachvollziehbarem Rechenweg.
Eine Binärzahl wird in eine Dezimalzahl umgerechnet, indem jede Ziffer mit der passenden Zweierpotenz multipliziert wird. Anschließend werden alle Ergebnisse addiert. So ergibt beispielsweise die Binärzahl 101101 den Dezimalwert 45.
Wie rechnet man Binär in Dezimal um?
Das Binärsystem verwendet nur die beiden Ziffern 0 und 1. Jede Stelle einer Binärzahl steht für eine Zweierpotenz. Die Zählung beginnt rechts mit 2⁰ und wird nach links mit 2¹, 2², 2³ und weiteren Zweierpotenzen fortgesetzt.
Ordne jeder Stelle der Binärzahl eine Zweierpotenz zu.
Multipliziere jede Binärziffer mit dem Wert ihrer Stelle.
Addiere alle Ergebnisse zur gesuchten Dezimalzahl.
= 1×2⁵ + 0×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰
= 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1
= 45₁₀
Binär-Dezimal-Tabelle
Die folgende Tabelle zeigt häufig verwendete Binärzahlen und ihre entsprechenden Dezimalwerte. Sie eignet sich zum schnellen Nachschlagen und zum Verständnis des binären Zahlensystems.
| Binärzahl | Dezimalzahl | Berechnung |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 × 1 |
| 1 | 1 | 1 × 1 |
| 10 | 2 | 1 × 2 + 0 × 1 |
| 11 | 3 | 1 × 2 + 1 × 1 |
| 100 | 4 | 1 × 4 + 0 × 2 + 0 × 1 |
| 101 | 5 | 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 |
| 110 | 6 | 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × 1 |
| 111 | 7 | 1 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1 |
| 1000 | 8 | 1 × 8 |
| 1001 | 9 | 1 × 8 + 1 × 1 |
| 1010 | 10 | 1 × 8 + 1 × 2 |
| 1111 | 15 | 8 + 4 + 2 + 1 |
| 10000 | 16 | 1 × 16 |
| 11111 | 31 | 16 + 8 + 4 + 2 + 1 |
| 100000 | 32 | 1 × 32 |
| 111111 | 63 | 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 |
| 1000000 | 64 | 1 × 64 |
| 11111111 | 255 | 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 |
| 100000000 | 256 | 1 × 256 |
| 1111111111 | 1023 | 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 |
Beispiele für Binärzahlen und Dezimalzahlen
An konkreten Beispielen lässt sich die Umrechnung besonders leicht nachvollziehen. Entscheidend ist immer der Stellenwert der einzelnen Nullen und Einsen.
Kurze Binärzahl
Die Binärzahl 1010 besteht aus den Stellenwerten 8, 4, 2 und 1. Aktiv sind die Stellen 8 und 2. Daraus ergibt sich 8 + 2 = 10.
Mehrere aktive Stellen
Bei 11001 sind die Stellen 16, 8 und 1 aktiv. Die Summe lautet deshalb 16 + 8 + 1 = 25.
Ein vollständiges Byte
Acht gesetzte Bits ergeben den Wert 255. Dieser Wert begegnet häufig bei Farben, Netzwerkadressen und digitalen Daten.
So funktionieren die Stellen einer Binärzahl
Im Dezimalsystem besitzt jede Stelle den zehnfachen Wert der rechts danebenliegenden Stelle. Im Binärsystem verdoppelt sich der Stellenwert dagegen von rechts nach links.
Bei der Binärzahl 10110 steht die rechte Stelle für 2⁰, also 1. Danach folgen die Werte 2, 4, 8 und 16. Eine Eins bedeutet, dass der entsprechende Stellenwert zur Summe gehört. Eine Null bedeutet, dass dieser Wert nicht berücksichtigt wird.
Beispiel 10110
16 + 0 + 4 + 2 + 0 ergibt 22. Somit entspricht die Binärzahl 10110 dem Dezimalwert 22.
Was ist das Binärsystem?
Das Binärsystem wird auch Dualsystem oder Zweiersystem genannt. Es nutzt ausschließlich die Ziffern 0 und 1. Während unser alltägliches Dezimalsystem auf der Basis 10 beruht, besitzt das Binärsystem die Basis 2.
Computer arbeiten mit Binärzahlen, weil elektronische Schaltungen zwei klar unterscheidbare Zustände besonders zuverlässig darstellen können. Diese Zustände lassen sich beispielsweise als eingeschaltet und ausgeschaltet, Spannung und keine Spannung oder 1 und 0 interpretieren.
Eine einzelne binäre Stelle heißt Bit. Acht Bits bilden üblicherweise ein Byte. Mit acht Bits lassen sich 256 verschiedene Werte darstellen, die von 0 bis 255 reichen.
Wo werden Binärzahlen verwendet?
Binärzahlen sind die Grundlage moderner Computertechnik. Sie werden überall dort eingesetzt, wo Informationen digital verarbeitet, gespeichert oder übertragen werden.
Computer und Prozessoren
Prozessoren verarbeiten Maschinenbefehle und Daten intern als Folgen aus Nullen und Einsen.
Netzwerke und IP-Adressen
IP-Adressen und Subnetzmasken lassen sich binär darstellen und dadurch technisch auswerten.
Farben und Bilddaten
Farbwerte, Pixel und Bildinformationen werden in digitalen Systemen als binäre Daten gespeichert.
Programmierung und Informatik
Binärzahlen spielen bei Bitoperationen, Datentypen, Speichergrößen und hardwarenaher Programmierung eine wichtige Rolle.
Unterschied zwischen Binärsystem und Dezimalsystem
Das Dezimalsystem nutzt zehn Ziffern von 0 bis 9. Jede Stelle basiert auf einer Zehnerpotenz. Die Zahl 345 besteht deshalb aus 3 × 100, 4 × 10 und 5 × 1.
Das Binärsystem verwendet dagegen nur 0 und 1. Seine Stellenwerte basieren auf Zweierpotenzen. Die Binärzahl 101 besteht aus 1 × 4, 0 × 2 und 1 × 1. Das Ergebnis ist die Dezimalzahl 5.
Binärzahlen werden bei größeren Werten deutlich länger als Dezimalzahlen. Sie eignen sich jedoch hervorragend für elektronische Systeme, weil jede Stelle nur zwei mögliche Zustände besitzt.
Häufige Fragen zum Binär-Dezimal-Rechner
Multipliziere jede Ziffer der Binärzahl mit der zugehörigen Zweierpotenz. Beginne rechts mit 2⁰ und addiere anschließend alle Ergebnisse.
Die Binärzahl 1010 entspricht der Dezimalzahl 10. Die Berechnung lautet 1 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 0 × 1 = 10.
Eine Binärzahl darf ausschließlich aus den Ziffern 0 und 1 bestehen. Andere Ziffern wie 2, 5 oder 9 gehören nicht zum Binärsystem.
Mit acht Binärstellen ist der größte Wert 11111111. Diese Binärzahl entspricht der Dezimalzahl 255.
Die tiefgestellte 2 kennzeichnet eine Zahl im Binärsystem. Die tiefgestellte 10 zeigt an, dass es sich um eine Dezimalzahl handelt. So bedeutet 101₂ dasselbe wie 5₁₀.
Elektronische Schaltungen können zwei Zustände besonders einfach und zuverlässig unterscheiden. Diese Zustände werden als 0 und 1 dargestellt.
Dafür wird die Dezimalzahl wiederholt durch 2 geteilt. Die Reste werden anschließend von unten nach oben gelesen. Dafür eignet sich ein eigener Dezimal-in-Binär-Rechner.
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